SwiftとObjective-Cで取得方法が違います。

Swiftの場合は、オブジェクトを単純に作った時点で現在時刻を表すオブジェクトになっています。

// Swift 3で値型のDateが追加されました
let today = Date()

Objective-Cの場合は次のようにします。

NSDate *today = [NSDate date];

ミリ秒で取得する

現在時刻をミリ秒で取得するには、DateのtimeIntervalSince1970 * 1000の値を使います。timeIntervalSince1970プロパティの型はNSTimeIntervalで、これはdoubleなので、整数値でほしい場合は次のようにします。

let today = Date();
let sec = today.timeIntervalSince1970
let millisec = UInt64(sec * 1000) // intだとあふれるので注意