FlutterでFirebase authを使うには、firebase_authを追加します。

pubspec.yamlに追加する

通常のライブラリと同様です。

dependencies:
  flutter:
    sdk: flutter
  # 中略
  firebase_auth: ^0.15.3+1

Android用の下準備

通常のAndroidアプリと同様に下準備をします。

まず、プロジェクト直下の build.gradle の dependencies にgoogle-servicesを追加します。

dependencies {
    classpath 'com.android.tools.build:gradle:3.4.2'
    classpath "org.jetbrains.kotlin:kotlin-gradle-plugin:$kotlin_version"
    // この行を追加
    classpath 'com.google.gms:google-services:4.3.2'
}

次に、appの下にある build.gradle の最下行に次の行を追加します。

apply plugin: 'com.google.gms.google-services'

最後に、Firebaseコンソールからダウンロードできる google-services.json をプロジェクト直下に配置します。

iOS用の準備

こちらも通常のiOSアプリと同様に下準備をします。

Firebaseコンソールからダウンロードできる GoogleService-Info.plist を/ios/Runnerフォルダに配置します。