Jetpack Composeで日付選択させたい場合、 DatePicker を使います。ダイアログで表示したい場合は DatePickerDialog が用意されています。

@Composable
fun DatePickerScreen() {
    val state = rememberDatePickerState()
    Scaffold { innerPadding ->
        DatePicker(
            state = state,
            modifier = Modifier.padding(innerPadding),
        )
    }
}

何日が選択されたかは　state.selectedDateMillis で取得できます。未選択の場合は null になっています。

表示は次のようになります。