FlutterでGETリクエストを投げるには、 http パッケージの get() を呼びます。

パッケージのインポート

次のように as http で名前をつけておきます。

import 'package:http/http.dart' as http;

リクエストの送信

State の中でメソッドにするとよいでしょう。 get() は Future<http.Response> を返すので、 async と await が使えます。

class ManifestPageState extends State<ManifestPage> {
  String _content = "";

  void _request() async {
    // GETを投げる
    http.Response resp = await http.get('https://moke.app/manifest.json');
    if (resp.statusCode != 200) {
      setState(() {
        int statusCode = resp.statusCode;
        _content = "Failed to get $statusCode";
      });
      return;
    }
    setState(() {
      _content = resp.body;
    });
  }
  // 中略
}